Estadística

La estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar, describir y analizar datos para llegar a conclusiones y tomar decisiones.

El conjunto de individuos o elementos del que se desea obtener información se llama población estadística. Cuando ésta es muy grande se toma al azar una parte representativa que recibe el nombre de muestra.

La característica o atributo que va a observarse en cada elemento de la población se denomina variable estadística y cada valor que ésta toma, es un dato. 

Las variables pueden ser:

a) Cualitativas: 

Son aquellas cuyos valores no pueden medirse ni contarse.

Estas se dividen en:

• Ordinales: Si sus valores pueden ser ordenados. Por ejemplo: el grado de instrucción, el nivel socio económico.
• Nominales: Si sus valores no pueden ser ordenados. Por ejemplo: la profesión, el estado civil.

b) Cuantitativas: 

Son aquellas que pueden medirse o contarse.

Estas a su vez se clasifican en:

• Discretas: Si toma como valores números naturales. Por ejemplo: el número de hijos, la edad.
• Continuas: Si toma como valor cualquier número real. Por ejemplo: la estatura, el peso.

La información recogida se organiza en tablas de distribución de frecuencias.
Las clases de frecuencia son:

a) Absoluta (f_i)
Es el número de veces que se repite un valor de la variable.

b) Relativa (h_i)
Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de datos. Indica qué parte del total de datos representa determinado valor de la variable. 

c) Porcentual (fi%)

Es el porcentaje que corresponde a cada valor en relación al total de datos. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por cien.

d) Acumulada (F_i)
Es la suma de las frecuencias absolutas desde el primer valor hasta el indicado.

Cuando se trata de variables cualitativas, la tabla debe considerar frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia porcentual y, en el caso de variables cuantitativas se debe agregar una columna para la frecuencia acumulada.

Las formas gráficas de presentar los datos que usaremos son: gráfico circular y de barras para variables cualitativas y gráfico de bastones y de barras para variables cuantitativas discretas.

Si la variable es cuantitativa discreta y toma muchos valores o si es continua, se agrupa los datos en intervalos, para ello se identifica el menor y el mayor valor, se restan y se dividen entre la cantidad de intervalos que se desea, obteniendo así la amplitud de cada uno.

En este caso, los datos se presentan en histogramas y polígonos de frecuencias.

Ejemplos:

1) Los gerentes de una cadena de cines desean ofrecer una función especial por su aniversario. Para elegir la película decidieron encuestar a los asistentes a una de las sucursales sobre su género de película preferido.
Para organizar la información obtenida se elaboró una tabla de distribución de frecuencias, resultando:

Para presentar la información obtenida, como se trata de una variable cualitativa, podía utilizarse un gráfico de barras o uno circular. Se optó por un gráfico circular para presentar la información mostrando porcentajes.

2) El administrador de un edificio desea saber cuántas personas viven por departamento, para ello, consultó con el conserje quien le presentó la información organizada en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

Para presentar la información obtenida, al tratarse de una variable cuantitativa discreta, podía utilizarse un gráfico de barras o uno de bastones.

Se eligió un gráfico de barras en el que se muestran las frecuencias, teniendo así:

3) Se preguntó a los asistentes a una maratón su estatura.
Por tratarse de una varible cuantitativa continua, para organizar la información se agrupó los datos en intervalos, resultado la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

Nota:
La marca de clase es el punto medio del intervalo.

Para presentar la información obtenida, se podía utilizar un histograma o un polígono de frecuencias.

Un histograma que permite ver los límites de cada intervalo.

Mientras que un polígono de frecuencias nos muestra las marcas de clase, así tenemos:

Nota:
Si deseas hacer gráficos usando una hoja de cálculo de Google puedes darte una idea con el siguiente video: 

Magnitudes proporcionales

Dos magnitudes son proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número natural, la otra queda multiplicada o dividida (o viceversa) por el mismo número.

Ejemplo 1:

Sabiendo que la entrada más barata para el partido Perú – Haití en la Copa América tiene un costo de 50 dólares, veamos el costo dependiendo de la cantidad de entradas que se desee comprar en la siguiente tabla:

Entradas	1	2	3	4	5
Costo ($)	50	100	150	200	250

Observa que si duplicamos la cantidad de entradas, el costo también se duplica y lo mismo sucede si se triplican, cuadruplican, quintuplican, etc. 

Decimos entonces que la cantidad de entradas y el costo son magnitudes directamente proporcionales.

En este caso, si dividimos el costo entre la cantidad de entradas respectiva obtenemos siempre el mismo número, este valor recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

Si definimos:

Tendremos que:

de donde:

Representando esta relación en el plano cartesiano tendremos:

En general, tenemos que si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple que: 

donde "k" es la constante de proporcionalidad.

De la expresión anterior podemos decir también que si dos magnitudes son directamente proporcionales se cumple que:

Ejemplo 2:

Si consideramos el tiempo que se demora un auto en llegar a un destino según la velocidad a la que viaja tenemos:

Velocidad (Km/h)	30	60	90	120	180
Tiempo (h)	12	6	4	3	2

Observa que si duplicamos la velocidad, el tiempo se reduce a la mitad; si triplicamos la velocidad, el tiempo se reduce a la tercera parte; si se cuadruplica la velocidad, el tiempo se reduce a la cuarta parte y si se quintuplica la velocidad, el tiempo se reduce a la quinta parte.

Podemos afirmar entonces que la velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

En este caso, si multiplicamos el tiempo por la velocidad respectiva obtendremos siempre el mismo número, es decir, la constante de proporcionalidad.

Si definimos:

Tendremos que:

Representando la relación en el plano cartesiano resulta:

En general, tenemos que si dos magnitudes son inversamente proporcionales se cumple que:

donde "k" es la constante de proporcionalidad.

Propiedades de la radicación de números reales

Cuando las cantidades subradicales son positivas se cumplen las siguientes propiedades:

Raíz de una multiplicación

Raíz de una división

Raíz de una potencia

Raíz de raíz

Exponente fraccionario

Propiedades de la potenciación de números reales

Cuando los exponentes son naturales, se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicación de bases iguales

a^m.aⁿ = a^m+n

División de bases iguales

a^m : aⁿ = a^m-n

Potencia de potencia

(a^m)ⁿ = a^m.n

Potencia de una multiplicación

(a.b)ⁿ = aⁿ . bⁿ

Potencia de una división

(a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

Exponente negativo

                                   

Exponente cero 

a⁰ = 1,             a ≠ 0

Propiedades de la multiplicación de números reales

Propiedad de clausura

“El producto de dos números reales es otro número real.”

Ejm:

Propiedad Conmutativa

“El orden de los factores no altera el producto.”

Ejm:

Propiedad Asociativa

“La forma como agrupemos los factores no altera el producto.”

Ejm:

Propiedad del Elemento Neutro

“Cualquier número real multiplicado por uno da como resultado el mismo número real.”

Ejm:

Propiedad del Elemento Inverso (inverso multiplicativo)

“El producto de un número real distinto de cero por su inverso es uno.”

Ejm:

Propiedad Distributiva

“Si un número real multiplica una adición de números reales, resulta la suma de los productos de dicho número real por cada uno de los sumandos.”

Ejm:

Propiedades de la adición de números reales

Propiedad de clausura

“La suma de dos números reales es otro número real.”

Ejm:

Propiedad Conmutativa

“El orden de los sumandos no altera la suma.”

Ejm:

Propiedad Asociativa

“La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma.”

Ejm:

Propiedad del Elemento Neutro

“La suma de un número real con cero es el mismo número real.”

Ejm:

Propiedad del Elemento Opuesto (inverso aditivo)

“La suma de un número real con su opuesto es cero”

Ejm:

Círculo y circunferencia

Circunferencia:

Es la figura formada por todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro.

Así tenemos la circunferencia C de centro O.

Elementos de la circunferencia

Los segmentos que unen cualquier punto de la circunferencia con el centro reciben el nombre de radios.

Los segmentos que unen dos puntos de la circunferencia reciben el nombre de cuerdas y la cuerda que pasa por el centro recibe el nombre de diámetro.

Por su parte, la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos puntos se denomina arco.

Observación:

Si cortamos la circunferencia por uno de sus puntos y la estiramos podremos medir su longitud (Lc) y, si dividimos el valor obtenido entre lo que mida su diámetro (D) obtendremos una cantidad decimal inexacta y sin período que recibe el nombre de "pi" y equivale a:

Simbólicamente:

Longitud de la circunferencia

De lo anterior se obtiene:

que es la fórmula que utilizamos para hallar la longitud de la circunferencia cuando conocemos su diámetro.

Y, dado que un diámetro equivale a dos radios, tenemos también:

Círculo:

Es la porción de plano limitada por una circunferencia.

Área del círculo

El área del círculo se calcula utlizando la fórmula:

Áreas y perímetros

Perímetro:
Es la suma de las longitudes de los lados de un polígono.
El perímetro se expresa en: cm, m, Km, etc.

Región poligonal:
Es el conjunto de puntos que comprende un polígono y su interior.

Unidad de área
Se llama así a la región cuadrangular que tiene como lado una unidad de distancia, es decir, 1 cm, 1 m, 1 km, etc.

Área de una región poligonal:
Es el número real (positivo) que expresa cuántas veces una unidad de área está contenida en una región poligonal.
El área se expresa en: cm², m², Km², etc.

Para el cálculo de áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares utilizamos las siguientes fórmulas:

Área del rectángulo:

Área del cuadrado:

Área del romboide:

Área del triángulo:

Área del rombo:

Área del trapecio:

Nota:

Si dos regiones poligonales tienen igual área se denominan equivalentes.