Propiedades de la adición de números racionales

Propiedad de clausura

“La suma de dos números racionales es otro número racional.”

Propiedad Conmutativa

“El orden de los sumandos no altera la suma.”

Propiedad Asociativa

“La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma.”

Propiedad del Elemento Neutro

“La suma de un número racional con cero es el mismo número racional.”

Propiedad del Elemento Opuesto (inverso aditivo)

“La suma de un número racional con su opuesto es cero”

Multiplicación de números racionales

Para multiplicar dos números racionales debemos tener en cuenta si están expresados como fracción o decimal, así:

Si se trata de fracciones: De ser posible simplificamos (siempre un numerador con un denominador) y luego obtenemos el numerador del resultado multiplicando los numeradores de los factores y el denominador, haciendo lo propio con los denominadores.  Finalmente, verificamos si aún es posible simplificar.

Si se trata de decimales se presentan dos casos:

• Si son exactos: Multiplicamos los números como si se tratara de enteros y colocamos en el producto tantas cifras decimales como la suma  de la cantidad de cifras decimales de los factores.

• Si son inexactos: Se expresan en forma de fracción y se opera como se indicó en ese caso. Finalmente, el resultado obtenido se expresa como decimal.

Adición de números racionales

Para sumar números racionales expresados como fracción se presentan dos casos:

• Si se trata de fracciones homogéneas: Se suma los numeradores y se mantiene el denominador. Por ejemplo:

• Si se trata de fracciones heterogéneas: Se homogenizan, para lo cual, escribimos fracciones equivalentes en las que el denominador será el mínimo común múltiplo de los denominadores de los sumandos. Finalmente, se procede como en el caso anterior. Por ejemplo:

Por otro lado, si se desea sumar números racionales expresados como decimal tenemos:

• Si son decimales exactos: Se iguala la cantidad de cifras de la parte decimal completando con ceros, se coloca los números en forma vertical cuidando que la coma decimal esté alineada y se suma como si se tratará de números enteros. Por ejemplo:

• Si son decimales inexactos: Se expresan en forma de fracción y se opera como se indicó según sean fracciones homogéneas o heterogéneas. Finalmente, el resultado obtenido se expresa como decimal.

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad  de dos expresiones algebraicas que se cumple para algunos valores de sus incógnitas (valores desconocidos).

Por ejemplo:

        5x + 7 = 22

se cumple cuando x = 3

porque:

            5(3) + 7 = 22

Notas:

• Resolver una ecuación significa hallar los valores de la incógnita que la satisfacen.
• Los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación se llaman raíces o soluciones.
• El conjunto de raíces recibe el nombre de conjunto solución (CS).
• Despejar una incógnita significa realizar los pasos necesarios para que quede sola en uno de los miembros de la ecuación.

Resolución:

Para resolver una ecuación haremos uso de las propiedades de las igualdades:

• Si sumamos o restamos un mismo número en ambos miembros de una igualdad, la igualdad se mantiene.
• Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de una igualdad por un mismo número diferente de cero, la igualdad se mantiene.

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: 6m - 5 = -17

Tenemos:

Para despejar la incógnita "m" sumamos 5 en ambos miembros (Propiedad 1).

efectuando las operaciones:

ahora, dividimos ambos miembros entre 6 (Propiedad 2).

obteniendo:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: 4y + 7 = 8

Tenemos:

Para despejar la incógnita "y" restamos 7 en ambos miembros de la igualdad (Propiedad 1).

efectuando las operaciones:

luego, dividimos ambos miembros de la igualdad entre 4 (Propiedad 2).

obtenemos:

Método de transposición de términos

Otra forma de resolver ecuaciones es mediante la transposición de términos, que consiste en trasladar un término de un miembro a otro aplicando la operación inversa.

Este método es una forma abreviada de aplicar las propiedades de la igualdad.

Así:

• Si un término está sumando, pasa restando.
• Si está restando, pasa sumando.
• Si está multiplicando, pasa dividiendo.
• Si está dividiendo, pasa multiplicando.

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación:

Tenemos:

                    

Transponemos el 9 al otro miembro aplicando la operación inversa (pasa restando)

Efectuando la operación:

Ahora transponemos el 4 que está dividiendo (pasa multiplicando)

Efectuando la operación:

Finalmente transponemos el 3 que está multiplicando (pasa dividiendo)

Resultando:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: 2n + 3 = 6 - 5n

Tenemos:

Transponemos los términos con incógnita a un miembro y los números al otro:

Efectuando las operaciones:

Dividimos entre 7:

Fuentes:

Rojas Puemape, A. (2000). Matemática 1 (Colección Skanners). Editorial San Marcos.

Centro de Estudios Preuniversitarios de la Pontificia Universidad Católica del Perú. (2004). Matemática. CEPREPUC.

Estadística

La estadística es la ciencia que se encarga de recoger, organizar, describir y analizar datos para llegar a conclusiones y tomar decisiones.

El conjunto de individuos o elementos del que se desea obtener información se llama población estadística. Cuando ésta es muy grande se toma al azar una parte representativa que recibe el nombre de muestra.

La característica o atributo que va a observarse en cada elemento de la población se denomina variable estadística y cada valor que ésta toma, es un dato. 

Las variables pueden ser:

a) Cualitativas: 

Son aquellas cuyos valores no pueden medirse ni contarse.

Estas se dividen en:

• Ordinales: Si sus valores pueden ser ordenados. Por ejemplo: el grado de instrucción, el nivel socio económico.
• Nominales: Si sus valores no pueden ser ordenados. Por ejemplo: la profesión, el estado civil.

b) Cuantitativas: 

Son aquellas que pueden medirse o contarse.

Estas a su vez se clasifican en:

• Discretas: Si toma como valores números naturales. Por ejemplo: el número de hijos, la edad.
• Continuas: Si toma como valor cualquier número real. Por ejemplo: la estatura, el peso.

La información recogida se organiza en tablas de distribución de frecuencias.
Las clases de frecuencia son:

a) Absoluta (f_i)
Es el número de veces que se repite un valor de la variable.

b) Relativa (h_i)
Se calcula dividiendo la frecuencia absoluta entre el número total de datos. Indica qué parte del total de datos representa determinado valor de la variable. 

c) Porcentual (fi%)

Es el porcentaje que corresponde a cada valor en relación al total de datos. Se calcula multiplicando la frecuencia relativa por cien.

d) Acumulada (F_i)
Es la suma de las frecuencias absolutas desde el primer valor hasta el indicado.

Cuando se trata de variables cualitativas, la tabla debe considerar frecuencia absoluta, frecuencia relativa y frecuencia porcentual y, en el caso de variables cuantitativas se debe agregar una columna para la frecuencia acumulada.

Las formas gráficas de presentar los datos que usaremos son: gráfico circular y de barras para variables cualitativas y gráfico de bastones y de barras para variables cuantitativas discretas.

Si la variable es cuantitativa discreta y toma muchos valores o si es continua, se agrupa los datos en intervalos, para ello se identifica el menor y el mayor valor, se restan y se dividen entre la cantidad de intervalos que se desea, obteniendo así la amplitud de cada uno.

En este caso, los datos se presentan en histogramas y polígonos de frecuencias.

Ejemplos:

1) Los gerentes de una cadena de cines desean ofrecer una función especial por su aniversario. Para elegir la película decidieron encuestar a los asistentes a una de las sucursales sobre su género de película preferido.
Para organizar la información obtenida se elaboró una tabla de distribución de frecuencias, resultando:

Para presentar la información obtenida, como se trata de una variable cualitativa, podía utilizarse un gráfico de barras o uno circular. Se optó por un gráfico circular para presentar la información mostrando porcentajes.

2) El administrador del edificio C desea saber cuántas personas viven por departamento, para ello, consultó con el conserje quien le presentó la información organizada en la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

Para presentar la información obtenida, al tratarse de una variable cuantitativa discreta, podía utilizarse un gráfico de barras o uno de bastones.

Se eligió un gráfico de bastones en el que se muestran las frecuencias, teniendo así:

3) Se preguntó a los asistentes a una maratón su estatura.
Por tratarse de una variable cuantitativa continua, para organizar la información se agrupó los datos en intervalos, resultado la siguiente tabla de distribución de frecuencias:

Nota:
La marca de clase es el punto medio del intervalo.

Para presentar la información obtenida, se podía utilizar un histograma o un polígono de frecuencias.

Un histograma que permite ver los límites de cada intervalo.

Mientras que un polígono de frecuencias nos muestra las marcas de clase, así tenemos:

Nota:
Si deseas hacer gráficos usando una hoja de cálculo de Google puedes darte una idea con el siguiente video: